Una noción de curvatura en espacios métricos

Abstract

Cuando Gauss estudiaba la posibilidad de hacer mapas exactos de la Tierra, tenía en mente una idea intuitiva de curvatura como una propiedad métrica, pues le interesaba encontrar isometrías entre porciones de una esfera y porciones de un plano. Ello lo llevó a demostrar su famoso Theorema egregium en 1827, aunque lo logró mediante el uso de técnicas de geometría diferencial. Aunque actualmente gran parte del estudio de curvatura se hace con el uso de herramientas de geometría riemanniana, es posible definir, en espacios métricos llamados geodésicos, una noción de curvatura que sea fructífera. Es por ello que en esta plática se hablará acerca de espacios \(\mathrm{CAT}(0)\), los cuales son espacios métricos geodésicos que cumplen una condición de comparación de triángulos, y de algunas de sus propiedades. Además de dar algunos ejemplos, se verá una clasificación de sus isometrías que es análoga a que se realiza para \(\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})\).

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